Hai dao động điều hòa thành phần cùng phương, có p...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

sử dụng phương pháp Freshnel về tổng hợp hai dao động điều hòa và biến đổi đại số, bất đẳng thức Cosi

Giải chi tiết:

Áp dụng công thức Freshnel về tổng hợp dao động ta có:

\(\begin{gathered}
{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2.{A_1}{A_2}.\cos \Delta \varphi \hfill \\
{A^2} = {({A_1} + {A_2})^2} - 2{A_1}{A_2} + 2.{A_1}{A_2}.\cos \Delta \varphi \hfill \\
{A^2} = {({A_1} + {A_2})^2} + 2.{A_1}{A_2}(\cos \Delta \varphi - 1) * \hfill \\
\end{gathered} \)

Theo bất đẳng thức Cosi ta có:

\(\begin{gathered}
{A_1} + {A_2} \geqslant 2\sqrt {{A_1}{A_2}} \Leftrightarrow {({A_1} + {A_2})^2} \geqslant 4{A_1}{A_2} \hfill \\
= > {A_1}{A_2} \leqslant \frac{{{{({A_1} + {A_2})}^2}}}{4} \hfill \\
\end{gathered} \)

Thay vào biểu thức *, chú ý rằng biểu thức  

\(\begin{gathered}
\cos \Delta \varphi - 1 \leqslant 1 \hfill \\
= > * \Leftrightarrow {A^2} \geqslant {({A_1} + {A_2})^2} - 2(1 - \cos \Delta \varphi ).\frac{{{{({A_1} + {A_2})}^2}}}{4} \hfill \\
{A^2} \geqslant \frac{1}{2}{({A_1} + {A_2})^2}.(\cos \Delta \varphi + 1) \hfill \\
= > {({A_1} + {A_2})^2} \leqslant \frac{{2.{A^2}}}{{(\cos \Delta \varphi + 1)}} \hfill \\
\end{gathered} \)

Vậy giá trị cực đại của

\({A_1} + {A_2} = \frac{{\sqrt 2 .A}}{{\sqrt {1 + \cos \Delta \varphi } }}\) khi và chỉ khi A₁ = A₂

Khi đó ta có :  

\(\tan \varphi = \frac{{\sin {\varphi _1} + \sin {\varphi _2}}}{{\cos {\varphi _1} + \cos {\varphi _2}}} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} = > \varphi = \frac{\pi }{{24}}\)