a) Cho biết \(\sin \alpha  = \frac{1}{4}\). Hãy t...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) \(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\).

b) Công thức xác định góc giữa hai vectơ: \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).

Giải chi tiết:

a)

Ta có: \(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Leftrightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\cot ^2}\alpha  = 15 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot \alpha  = \sqrt {15} \\\cot \alpha  =  - \sqrt {15} \end{array} \right.\).

b)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 3} \right),\,\overrightarrow {AD}  = \left( { - 4;2} \right),\,\,\overrightarrow {CB}  = \left( {2;4} \right),\,\overrightarrow {CD}  = \left( { - 3;9} \right)\)

 \(\begin{array}{l}\cos \widehat {BAD} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{1.\left( { - 4} \right) + \left( { - 3} \right).2}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} }} =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {BAD} = 135^\circ \\\cos \widehat {BCD} = \cos \left( {\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{2.\left( { - 3} \right) + 4.9}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {9^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {BCD} = 45^\circ \end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {BAD} + \widehat {BCD} = 135^\circ  + 45^\circ  = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \)ABCD là tứ giác nội tiếp được một đường tròn (đpcm).