Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, các mặt bên của hình chóp cùng tạo với đáy các góc bằng nhau \( \Rightarrow \) S.ABCD là hình chóp đều.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD \( \Rightarrow SO \bot (ABCD)\)

Ta có:

\(CD//AB \Rightarrow CD//(SAB) \Rightarrow d(CD;SA) = d(CD;(SAB)) = d(C;(SAB))\) (1)

Mà \(AC \cap (SAB) = A,\,\,AC = 2.OA\)\( \Rightarrow d(C;(SAB)) = 2d(O;(SAB))\) (2)

Gọi E là trung điểm của AB \( \Rightarrow OE \bot AB\)

Kẻ \(OH \bot SE\) , ta có: \(AB \bot OE,\,\,AB \bot SO \Rightarrow AB \bot (SOE) \Rightarrow AB \bot OH\)

\( \Rightarrow OH \bot (SAB)\)\( \Rightarrow d(O;(SAB)) = OH\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra : \(d(SA;CD) = 2OH\)

+) Tính SO: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt 3 {a^3}}}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {2a} \right)^2}.SO \Rightarrow SO = \sqrt 3 a\)

+) Tính OE:  \(OE = \frac{1}{2}AD = a\)

+) Tính OH:

\(\Delta \)SOE vuông tại O, \(OH \bot SE\) \( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\)

\( \Rightarrow d(SA;CD) = 2OH = \sqrt 3 a\).

Chọn: D