Cho khối chóp \(S.ABC\) có \(\widehat{BAC}={{90}^{...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định bán kính mặt cầu để suy ra chiều cao của khối chóp

Giải chi tiết:

Do mặt cầu tâm \(O\) tiếp xúc với \(SA,\ SB,\ SC\) lần lượt tại các điểm \({{A}_{1}},\ {{B}_{1}},\ {{C}_{1}}\Rightarrow S{{A}_{1}}=S{{B}_{1}}=S{{C}_{1}}\)          \(\left( 1 \right)\).

Mặt khác ta có \(O{{A}_{1}}=O{{B}_{1}}=O{{C}_{1}}\)                 \(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(SO\bot \left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \right)\).

Gọi \({C}'\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(S\).

Ta có các tam giác \(SAB,\ SA{C}',\ SB{C}'\) cân tại \(S\).

Suy ra \({{A}_{1}}{{B}_{1}}\text{//}AB,\,\,{{A}_{1}}{{C}_{1}}\text{//}A{C}',\,\,{{B}_{1}}{{C}_{1}}\text{//}B{C}'\)\(\Rightarrow \left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \right)\text{//}\left( AB{C}' \right)\)

\(SH\text{//}B{C}'\Rightarrow SH\text{//}\left( AB{C}' \right)\). Vậy \(SO\bot SH.\)

\(\Rightarrow SH=d\left( O,\left( ABC \right) \right)=R=1\). Vậy \(V=\frac{\sqrt{3}}{3}.\)

Chọn B