Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’ có BB’ = a,...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi D là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC\( \Rightarrow B'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BG\) là hình chiếu vuông góc của BB’ trên (ABC)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {BB';\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BB';BG} \right)} = \widehat {B'BG} = {60^0}\)

\(B'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow B'G \bot GB \Rightarrow \Delta BB'G\) vuông tại G

\( \Rightarrow B'G = BB'. \sin 60 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(BG = \sqrt {BB{'^2} - B'{G^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}}  = \dfrac{a}{2} \Rightarrow BD = \dfrac{3}{2}. BG = \dfrac{{3a}}{4}. \)

Xét tam giác vuông ABC có:

\(BC = AB. \sin 60 = AB\dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\,\,\,AC = AB. cos60 = \dfrac{{AB}}{2} \Rightarrow CD = \dfrac{{AB}}{4}\)

Xét tam giác vuông BCD có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} + C{D^2} = B{D^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{3A{B^2}}}{4} + \dfrac{{A{B^2}}}{{16}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{16}} \Rightarrow \dfrac{{13A{B^2}}}{{16}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{16}} \Rightarrow AB = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{13}}\end{array}\)

\( \Rightarrow BC = AB\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{13}}. \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt {39} }}{{26}};AC = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}}\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}BC. AC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{3a\sqrt {39} }}{{26}}. \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}} = \dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{{104}}\)

Vậy \({V_{A'ABC}} = \dfrac{1}{3}B'G. {S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}. \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}. \dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{{104}} = \dfrac{{9{a^3}}}{{208}}\)

Chọn B