Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Khoảng cách g...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của CD

Vì tam giác ACD và tam giác BCD đều nên \(AE \bot CD;BE \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {ABE} \right)\)

\(\Delta ACD = \Delta BCD\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow EA = EB\)

Trong (ABE) kẻ \(EH \bot AB\) . Vì \(CD \bot \left( {ABE} \right) \supset EH \Rightarrow CD \bot EH\)

\( \Rightarrow EH\) là đường vuông góc chung của AB và CD\( \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = EH\)

Ta có: \(AE = BE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vì tam giác ABE cân tại E \( \Rightarrow H\)là trung điểm của AB\( \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\)

Xét tam giác AHE: \(EH = \sqrt {A{E^2} - A{H^2}}  = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy \(d\left( {AB;CD} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Chọn A.