Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD có độ dài...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Trong (SAC) kẻ \(GH \bot SO\)

Vì ABCD là hình thoi nên \(AC \bot BD\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SG\,\,\left( {SG \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot GH\)

\(\left. \begin{array}{l}GH \bot BD\\GH \bot SO\end{array} \right\} \Rightarrow GH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {G;\left( {SBD} \right)} \right) = GH\)

Xét tam giác ABC có: 

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.cos\widehat {ABC} = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 3{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow AG = \frac{2}{3}AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3};CG = AC - AG = a\sqrt 3  - \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3};GO = \frac{1}{3}AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\end{array}\)

Xét tam giác vuông SAC có: \(S{G^2} = AG.CG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2{a^2}}}{3}\)

Vì \(SG \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SG \bot AC \Rightarrow \Delta SGO\)vuông tại G

\( \Rightarrow \frac{1}{{G{H^2}}} = \frac{1}{{G{S^2}}} + \frac{1}{{G{O^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} + \frac{{12}}{{{a^2}}} = \frac{{27}}{{2{a^2}}} \Rightarrow G{H^2} = \frac{{2{a^2}}}{{27}} \Rightarrow GH = \frac{{\sqrt 6 }}{9}a.\)

Chọn B.