Cho chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có: \(\widehat {ADC} = {180^0} - {120^0} = {60^0}\) (bù với \(\widehat {BAD}\)), lại có \(AD = CD \Rightarrow \Delta ACD\) đều cạnh a.

Gọi E là tâm tam giác đều ACD, M, N lần lượt là trung điểm của CD và SA.

Trong (SAM) qua E kẻ đường thẳng \(d//SA \Rightarrow d \bot \left( {ABCD} \right)\)

Qua N kẻ \(IN//AE\,\,\left( {I \in d} \right) \Rightarrow IN\) là trung trực của SA\( \Rightarrow IS = IA\)

Lại có \(I \in d \Rightarrow IA = IC = ID \Rightarrow IS = IA = IC = ID\)

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S. ACD

Dễ thấy AEIN là hình chữ nhật \( \Rightarrow IE = AN = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác ACD đều cạnh a \( \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AE = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác vuông AIE có: \(IA = \sqrt {I{E^2} + A{E^2}}  = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{6} = R\)

Chọn A.