Cho tam giác ABC có G là trọng tâm , I là điểm trê...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2CI = 3BI\\\overrightarrow {IC}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {IB} \end{array} \right. \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IC}  =  - 3\overrightarrow {IB} \\ \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AI} } \right) =  - 3\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AI} } \right) \Leftrightarrow 5\overrightarrow {AI}  = 3\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \dfrac{3}{5}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AC} {\rm{    }}(1)\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}5JB = 2JC\\\overrightarrow {JC}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {JB} \end{array} \right. \Leftrightarrow 5\overrightarrow {JB}  = 2\overrightarrow {JC} \\ \Leftrightarrow 5\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AJ} } \right) = 2\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AJ} } \right) \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AJ}  = 5\overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AJ}  = \dfrac{5}{3}\overrightarrow {AB}  - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} {\rm{     }}(2)\end{array}\)

b) Gọi M là trung điểm BC ta có: \(\overrightarrow {AG}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AM}  = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right){\rm{    }}\left( 3 \right)\)

Mặt khác từ hệ tạo bởi (1) và (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \dfrac{5}{8}\overrightarrow {{\rm{AI}}}  + \dfrac{3}{8}\overrightarrow {{\rm{AJ}}} ;\\\overrightarrow {AC}  = \dfrac{{25}}{{16}}\overrightarrow {{\rm{AI}}}  - \dfrac{9}{{16}}\overrightarrow {{\rm{AJ}}} \end{array}\)

Thay vào (3) ta được: \(\overrightarrow {AG}  = \dfrac{{35}}{{48}}\overrightarrow {{\rm{AI}}}  - \dfrac{1}{{16}}\overrightarrow {{\rm{AJ}}} \).