Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 + x}  +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ và khảo sát hàm số để tìm GTNN của hàm số.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {1 + x}  + \sqrt {3 - x}  \Rightarrow {t^2} = 4 + 2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x}  \ge 4 \Rightarrow t \ge 2\) (vì t ≥ 0)

Măt khác \(2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x}  \le \left( {1 + x} \right) + \left( {3 - x} \right) = 4\)\( \Rightarrow {t^2} \le 8 \Rightarrow t \le 2\sqrt 2  \Rightarrow t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)

Có \(\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x}  = \dfrac{{{t^2} - 4}}{2} \Rightarrow \sqrt {1 + x}  + \sqrt {3 - x}  - \sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x}  = t - \dfrac{{{t^2} - 4}}{2} =  - \dfrac{{{t^2}}}{2} + t + 2\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) =  - \dfrac{{{t^2}}}{2} + t + 2\) trên\(\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\), có \(f'\left( t \right) =  - t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) (loại)

Có \(f\left( 2 \right) = 2;f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2  - 2 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right) = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2  - 2\)

Chọn D