Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt cạnh đáy của hình chóp là x, lập công thức thể tích hình chóp theo x, sử dụng bất đẳng thức để tìm GTLN của V

Giải chi tiết:

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính 9

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Gọi x là cạnh hình vuông ABCD. Để thể tích của hình chóp lớn nhất thì chiều cao hình chóp là

\(SO = SI + OI = 9 + \sqrt {I{C^2} - O{C^2}}  = 9 + \sqrt {{9^2} - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \)

Thể tích khối chóp là

\(V = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}\left( {9 + \sqrt {81 - \dfrac{{{x^2}}}{2}} } \right).{x^2} = \dfrac{2}{3}\left( {9t + t\sqrt {81 - t} } \right)\) với \(t = \dfrac{{{x^2}}}{2} \in \left( {0;81} \right]\)

Xét \(f\left( t \right) = 9t + t\sqrt {81 - t} \) trên (0;81], ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = 9 + \sqrt {81 - t}  - \dfrac{t}{{2\sqrt {81 - t} }} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{18\sqrt {81 - t}  + 2\left( {81 - t} \right) - t}}{{2\sqrt {81 - t} }} = 0\\ \Leftrightarrow 18\sqrt {81 - t}  + 162 - 3t = 0\\ \Leftrightarrow 6\sqrt {81 - t}  = t - 54\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 54\\36\left( {81 - t} \right) = {t^2} - 108t + 2916\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 54\\{t^2} - 72t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 72\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

\(f'\left( t \right) > 0,\forall t \in \left( {0;72} \right);f'\left( t \right) < 0,\forall t \in \left( {72;81} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \max f\left( t \right) = f\left( {72} \right)\\ \Rightarrow {V_{\max }} = \dfrac{2}{3}f\left( {72} \right) = 576\end{array}\)

Chọn B.