Xét hàm số \(f(t) = \dfrac{{{9^t}}}{{{9^t} + {m^2}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm số để làm

Giải chi tiết:

Theo giả thiết ta có: \({e^{x + y}} \le e\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow {e^{x + y}} - e\left( {x + y} \right) \le 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt u = x + y, khi đó ta có: \({e^u} - eu \le 0\) . Xét hàm số \(g\left( u \right) = {e^u} - eu,\forall u \in R\)

Ta có: \(g'\left( u \right) = {e^u} - e;g'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow {e^u} - e = 0 \Leftrightarrow {e^u} = e \Leftrightarrow u = 1\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có:

\(g\left( u \right) \ge g\left( 1 \right) = 0,\forall u \in R \Rightarrow g\left( u \right) \ge 0,\forall u \in R \Leftrightarrow {e^{x + y}} - e\left( {x + y} \right) \ge 0,\forall x,y \in R\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \({e^{x + y}} = e\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow x + y = 1 \Leftrightarrow y = 1 - x\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}f\left( x \right) + f\left( y \right) = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{9^x}}}{{{9^x} + {m^2}}} + \dfrac{{{9^{1 - x}}}}{{{9^{1 - x}} + {m^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{9^x}}}{{{9^x} + {m^2}}} + \dfrac{9}{{9 + {9^x}{m^2}}} = 1 \Leftrightarrow {9^x}.{m^4} = {9^x}.9 \Leftrightarrow {m^4} = 9 \Leftrightarrow {m^2} = 3 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 3 \end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { \pm \sqrt 3 } \right\}\)

Chọn D.