Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích: Cho tứ diện

SABC, và các điểm M thuộc SA; N thuộc SB;

P thuộc SC. Khi đó ta có:

\(\dfrac{{{V_{SMNP}}}}{{{V_{SABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}.\)

Giải chi tiết:

Trước tiên ta có công thức thể tích tứ diện đều cạnh a: \({V_{ABCD}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Tính \(\dfrac{{{V_{BMEN}}}}{{{V_{ABCD}}}}\):

Xét ∆ BNE và ∆ BCD có đáy BE = 2BD; chiều cao tương ứng từ đỉnh N của ∆ BNE bằng một nửa chiều cao từ đỉnh C của ∆ BCD nên S_BNE = S_BCD.

Xét tứ diện BMEN và tứ diện ABCD có diện tích hai đáy BNE và BCD bằng nhau, chiều cao từ đỉnh M bằng một nửa chiều cao từ đỉnh A, do đó \(\dfrac{{{V_{BMEN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}\)

Tính \(\dfrac{{{V_{FDEG}}}}{{{V_{ABCD}}}}\): Ta có \(\dfrac{{{V_{FDEG}}}}{{{V_{EBMN}}}} = \dfrac{{EF}}{{EM}}.\dfrac{{ED}}{{EB}}.\dfrac{{EG}}{{EN}}\)

Gọi I là trung điểm BD thì MI // FD suy ra \(\dfrac{{EF}}{{EM}} = \dfrac{{ED}}{{EI}} = \dfrac{{ED}}{{ED + \dfrac{1}{2}ED}} = \dfrac{2}{3}\)

Tương tự ta có \(\dfrac{{EG}}{{EN}} = \dfrac{2}{3}\). Suy ra \(\dfrac{{{V_{FDEG}}}}{{{V_{EBMN}}}} = \dfrac{{EF}}{{EM}}.\dfrac{{ED}}{{EB}}.\dfrac{{EG}}{{EN}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{FDEG}} = \dfrac{2}{9}{V_{EBMN}}\\ \Rightarrow {V_{BMFDGN}} = {V_{EBMN}} - \dfrac{2}{9}{V_{EBMN}} = \dfrac{7}{9}{V_{EBMN}} = \dfrac{7}{9}.\dfrac{1}{2}{V_{ABCD}} = \dfrac{7}{{18}}{V_{ABCD}}\\ \Rightarrow V = {V_{ABCD}} - \dfrac{7}{{18}}{V_{ABCD}} = \dfrac{{11}}{{18}}{V_{ABCD}} = \dfrac{{11{a^3}\sqrt 2 }}{{216}}\end{array}\)

Chọn B.