Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = 8cm,\,BC...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(\Delta BCE \sim \Delta DBE\) theo trường hợp góc.góc

b) Chứng minh \(\Delta BCD\) và \(\Delta CHB\) đồng dạng từ đó suy ra điều phải chứng minh

c) Dựa vào các tie số đồng dạng và định lý Pitago để tính.

d) Sử dụng công thức tính diện tích và các đoạn tính được ở c) để tính.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh \(\Delta BCE \sim \Delta DBE\)

Có ABCD là hình chữ nhật (gt)

\( \Rightarrow \angle BCD = {90^o} \Rightarrow \angle BCE = {180^o} - \angle BCD = {90^o}\) (hai góc kề bù)

Xét \(\Delta BCE\) và \(\Delta DBE\) có:

\(\begin{array}{l}\angle E\,\,\,chung\\\angle BCE = \angle DBE = {90^o}\\ \Rightarrow \Delta BCE \sim \Delta DBE\,\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Kẻ đường cao CH của tam giác BCE. Chứng minh: \(B{C^2} = CH.BD\)

Có \(\Delta BCE \sim \Delta DBE\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle CBH = \angle BDC\)  (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta CHB\) có:

\(\begin{array}{l}\angle BDC = \angle CBH\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle BCD = \angle CHB = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta BCD \sim \Delta CHB\,\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{CH}} \Rightarrow B{C^2} = CH.BD\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

  c) Tính độ dài đoạn thẳng BH và BE

Có ABCD là hình chữ nhật \( \Rightarrow AB = CD = 8cm;\,\,AD = BC = 6cm\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABD vuông tại A:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {8^2} + {6^2} = 100 \Rightarrow BD = 10cm\)

Có \(\Delta BCD \sim \Delta CHB\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{CD}}{{BH}} \Rightarrow BH = \frac{{CD.BC}}{{BD}} = \frac{{8.6}}{{10}} = \frac{{24}}{5}\,\,\left( {cm} \right).\)

Có \(B{C^2} = CH.BD\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CH = \frac{{B{C^2}}}{{BD}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = \frac{{18}}{5}\,\,\left( {cm} \right).\)

Xét \(\Delta CEH\) và \(\Delta DEB\) có:

\(\begin{array}{l}\angle E\,\,chung\\\angle CHE = \angle DBE = {90^o}\\ \Rightarrow \Delta CEH \sim \Delta DEB\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{HE}}{{BE}} = \frac{{CH}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{BE - HE}}{{BE}} = \frac{{BD - CH}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{BD - CH}}{{BD}}\\ \Rightarrow BE = \frac{{BH.BD}}{{BD - CH}} = \frac{{\frac{{24}}{5}.10}}{{10 - \frac{{18}}{5}}} = \frac{{15}}{2}\,\,(cm).\end{array}\)

d) Tính tỉ số diện tích của \(\Delta CEH\) và \(\Delta DEB\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta CEH}} = \frac{1}{2}CH.HE\\{S_{DEB}} = \frac{1}{2}BD.BE\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta CEH}}}}{{{S_{\Delta DEB}}}} = \frac{{CH.HE}}{{DB.BE}} = \frac{{CH}}{{DB}}.\frac{{HE}}{{BE}} = \frac{{CH}}{{DB}}.\frac{{CH}}{{DB}}\,\,\,\,\left( {do\,\,\frac{{HE}}{{BE}} = \frac{{CH}}{{BD}}\,\,\,cm\,\,b)} \right)\\ = {\left( {\frac{{CH}}{{DB}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{18}}{{5.10}}} \right)^2} = \frac{{81}}{{625}}.\end{array}\)