Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của t...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tính \(y'\), tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số theo \(m\).

- Thay vào điều kiện các điểm cực trị cách đều gốc \(O\) để tìm \(m\) và kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: \(y =  - {\left( {x - 1} \right)^3} + 3{m^2}\left( {x - 1} \right) - 2 \Rightarrow y' =  - 3{\left( {x - 1} \right)^2} + 3{m^2}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow  - 3\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {m^2}} \right] = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = {m^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + m,y = 2\left( {{m^3} - 1} \right)\\x = 1 - m,y =  - 2\left( {{m^3} + 1} \right)\end{array} \right.\)

Do đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A\left( {m + 1;2\left( {{m^3} - 1} \right)} \right),B\left( {1 - m; - 2\left( {{m^3} + 1} \right)} \right)\).

Hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ \( \Leftrightarrow OA = OB\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 4{{\left( {{m^3} - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 4{{\left( {{m^3} + 1} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} + 4{\left( {{m^3} - 1} \right)^2} = {\left( {m - 1} \right)^2} + 4{\left( {{m^3} + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - {\left( {m - 1} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {{m^3} + 1} \right)}^2} - {{\left( {{m^3} - 1} \right)}^2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow 4m = 4.4{m^3} \Leftrightarrow 4{m^3} - m = 0 \Leftrightarrow m\left( {4{m^2} - 1} \right) = 0 \).

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  \pm \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ {0; \pm \dfrac{1}{2}} \right\}\)

Vậy tổng cần tính là \(T = 0 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\).

Chọn C.