Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \(\left( {uv} \right)' = u'v + v'u\).

+) Sử dụng phương pháp tích phân 2 vế.

+) Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần \(\int\limits_{}^{} {udv}  = uv - \int\limits_{}^{} {vdu} \).

Giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {e^{ - x}} \Leftrightarrow f\left( x \right){e^x} + f'\left( x \right){e^x} = 1 \Leftrightarrow \left[ {f\left( x \right){e^x}} \right]' = 1\)

Lấy tích phân 2 vế ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^x {\left[ {f\left( x \right){e^x}} \right]'dx}  = \int\limits_0^x {dx}  \Leftrightarrow \left. {f\left( x \right){e^x}} \right|_0^x = \left. x \right|_0^x \Leftrightarrow f\left( x \right){e^x} - f\left( 0 \right) = x\\ \Leftrightarrow f\left( x \right){e^x} = x + 2 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right){e^{ - x}}\\ \Rightarrow f\left( x \right){e^{2x}} = \left( {x + 2} \right){e^x}\\ \Rightarrow \int\limits_{}^{} {f\left( x \right){e^{2x}}dx}  = \int\limits_{}^{} {\left( {x + 2} \right){e^x}dx}  = \int\limits_{}^{} {\left( {x + 2} \right)d\left( {{e^x}} \right)} \\ = \left( {x + 2} \right){e^x} - \int\limits_{}^{} {{e^x}dx}  + C = \left( {x + 2} \right){e^x} - {e^x} + C = \left( {x + 1} \right){e^x} + C\end{array}\)

Chọn D.