Cho tam giác \(ABC\) có hai đường phân giác \(BD,\...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất đường phân giác, định lý Pytago đảo tính các tỉ số \(\dfrac{{BI}}{{BD}}\) và \(\dfrac{{CI}}{{CE}}\).

- Thay hai tỉ số vừa tìm được vào giả thiết \(BD.CE = 2BI.CI\).

- Biến đổi, rút gọn đẳng thức sau đó sử dụng định lí Pytago đảo.

Giải chi tiết:

Áp dụng tích chất đường phân giác ta có:

\(\dfrac{{AD}}{{CD}} = \dfrac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AD + CD}} = \dfrac{{AB}}{{AB + BC}} \Rightarrow AD = \dfrac{{AB.AC}}{{AB + BC}}.\)

\(I\) là giao điểm của hai đường phân giác \(BD,CE\)

\( \Rightarrow AI\)là phân giác của tam giác \(ABC.\)

Khi đó tiếp tục áp dụng tích chất đường phân giác ta có: \(\dfrac{{BI}}{{ID}} = \dfrac{{AB}}{{AD}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BI}}{{BD}} = \dfrac{{BI}}{{BI + ID}} = \dfrac{{AB}}{{AB + AD}} = \dfrac{{AB}}{{AB + \dfrac{{AB.AC}}{{AB + BC}}}}\\ = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{AC}}{{AB + BC}}}} = \dfrac{{AB + BC}}{{AB + BC + AC}}\end{array}\)

Tương tự, ta được: \(\dfrac{{CI}}{{CE}} = \dfrac{{AC + BC}}{{AB + BC + AC}}.\)

Theo bài ra ta có: \(BD.CE = 2BI.CI\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{BI}}{{BD}}.\dfrac{{CI}}{{CE}} = \dfrac{{AB + BC}}{{AB + BC + AC}}.\dfrac{{AC + BC}}{{AB + BC + AC}}\)

\( \Rightarrow {\left( {AB + BC + AC} \right)^2} = 2\left( {AB + BC} \right)\left( {AC + BC} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} + A{C^2} + 2AB.BC + 2AB.AC + 2AC.BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2AB.AC + 2AB.BC + 2AC.BC + 2B{C^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lý Pytago đảo).