Tìm các nghiệm nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right)\)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa.

Biến đổi phương trình và sử dụng điều kiện \(x,\,\,y \in \mathbb{Z}\) để giải phương trình.

Giải chi tiết:

Tìm các nghiệm nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right)\) của phương trình \(\sqrt x  + \sqrt y  = \sqrt {2020} .\)

Điều kiện: \(x \ge 0;\,\,y \ge 0.\)

Theo đề bài ta có: \(\sqrt x  + \sqrt y  = \sqrt {2020} \,\,\,\left( * \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt x  = \sqrt {2020}  - \sqrt y  \Leftrightarrow x = 2020 - 2\sqrt {2020y}  + y\\ \Leftrightarrow x = 2020 + y - 4\sqrt {5.101y} \end{array}\)

Vì \(x,\,\,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4\sqrt {5.101y}  \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 5.101y\) là số chính phương.

\( \Rightarrow 5.101y = {k^2}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow y = 5.101{a^2} = 505{a^2}\,\,\,\left( {a \in \mathbb{Z}} \right).\) 

Chứng minh tương tự ta có: \(x = 5.101{b^2} = 505{b^2}\,\,\left( {b \in \mathbb{Z}} \right).\)

Thay \(x = 505{b^2}\) và \(y = 505{a^2}\) vào phương trình \(\left( * \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {505{b^2}}  + \sqrt {505{a^2}}  = \sqrt {2020} \\ \Leftrightarrow \left| b \right|\sqrt {505}  + \left| a \right|\sqrt {505}  = 2\sqrt {505} \\ \Leftrightarrow \left| a \right| + \left| b \right| = 2.\end{array}\)

Vì \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}\) nên ta có bảng:

Vậy các cặp số nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn bài toán là:  \(\left\{ {\left( {2020;\,\,0} \right);\,\,\left( {505;\,\,505} \right);\,\,\left( {0;\,\,2020} \right)} \right\}.\)

Chọn D.