Số nào trong các số sau là số chính phương:a) \(M...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh số đó chia cho 3, chia cho 4 dư 0 hoặc 1.

Giải chi tiết:

a) Các số \({1993^2}\), \({1994^2}\) chia cho 3 dư 1, còn \({1992^2}\) chia hết cho 3. Vậy \(M\) chia cho 3 dư 2 nên \(M\) không là số chính phương.

b) Gọi \({A_k} = 1 + 2 + ... + k = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2};\,\,{A_{k - 1}} = 1 + 2 + ... + \left( {k - 1} \right) = \dfrac{{\left( {k - 1} \right)k}}{2}\).

Ta có: \(A_k^2 - A_{k - 1}^2 = \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2} - {k^2}{{\left( {k - 1} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{k^2}\left( {k + 1 + k - 1} \right)\left( {k + 1 - k + 1} \right)}}{4} = {k^3}\) khi đó:

\(\begin{array}{l}{1^3} = A_1^2\\{2^3} = A_2^2 - A_1^2\\..................\\{n^3} = A_n^2 - A_{n - 1}^2\end{array}\)

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta có:

\({1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = A_n^2 = {\left[ {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2} = {\left[ {\dfrac{{100\left( {100 + 1} \right)}}{2}} \right]^{^2}} = {\left( {50.101} \right)^2}\) là số chính phương.