Giải phương trình nghiệm nguyên \(3{x^2} + \left(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta coi \(x\) là ẩn còn \(y\)là tham số rồi đưa phương trình trên về dạng \(A{x^2} + Bx + C = 0\)sau đó giải phương trình theo \({\Delta _x}\).

Giải chi tiết:

\(3{x^2} + \left( {3y - 1} \right)x + 3{y^2} - 8y = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Ta coi \(x\) là ẩn và \(y\)là tham số khi đó ta có:

Để phương trình (*) có nghiệm thì \({\Delta _x} \ge 0\)

\(\begin{array}{l}{\Delta _x} = {\left( {3y - 1} \right)^2} - 4.3.\left( {3{y^2} - 8y} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 9{y^2} - 6y + 1 - 36{y^2} + 96y\\\,\,\,\,\,\,\, =  - 27{y^2} + 90y + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{15 - 2\sqrt {57} }}{9}\left( { \approx  - 0,01} \right) \le y \le \frac{{15 + 2\sqrt {57} }}{9}\left( { \approx 3,34} \right)\end{array}\)

Vì \(y\)là số nguyên nên \(y \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\)

TH1: \(y = 0\) thì (*) trở thành \(3{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}&{\left( {tm} \right)}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{3}}&{\left( {ktm} \right)}\end{array}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {0;0} \right)\)

TH2: \(y = 1\) thì (*) trở thành \(3{x^2} + 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}&{\left( {tm} \right)}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{5}{3}}&{\left( {ktm} \right)}\end{array}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {1;1} \right)\)

TH3: \(y = 2\) thì (*) trở thành \(3{x^2} + 5x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {73} }}{6}\,\,\,\left( {ktm} \right)\)

TH4: \(y = 3\) thì (*) trở thành \(3{x^2} + 8x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 4 \pm \sqrt 7 }}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên là \(\left( {0;0} \right)\)và \(\left( {1;1} \right)\)

Chọn A.