Cho hình chữ nhật $ABCD.\,\,E$ là một điểm tùy ý...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tiên đề Ơ-clit, chứng minh $IE,\,\,IM$ cùng song song với $AC$.

Giải chi tiết:

Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ và $AF.$ Dễ thấy $ANMF$ là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông), suy ra $I$ là trung điểm $AF$ $\Rightarrow IE$ là đường trung bình của tam giác $AFC$$\Rightarrow IE\parallel AC\,\,\left( 1 \right).$

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Ta có: $OI$ là đường trung bình của tam giác $AFC.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OI\parallel FC\\OI = \dfrac{1}{2}FC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OI\parallel EF\\OI = EF\end{array} \right.$$\Rightarrow OIFE$ là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

$\Rightarrow IF\parallel OE \Rightarrow AF\parallel BD \Rightarrow \angle IAM = \angle ODA$ (so le trong).

Mà $\angle IAM = \angle IMA$ (do $\Delta IAM$ cân tại $I$) và $\angle ODA = \angle OAD$ (do $\Delta OAD$ cân tại $O$).

$\Rightarrow \angle IMA = \angle OAD \Rightarrow IM\parallel AO \Rightarrow IM\parallel AC\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow I,\,\,M,\,\,E$ thẳng hàng $E,\,\,M,\,\,N$ thẳng hàng.