Phương trình \(1 + \sin x - \cos x + \sin 2x = 0\)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \sin x - \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

- Giải phương trình bậc hai đối với \(t\), sau đó tìm nghiệm \(x\).

- Tìm các nghiệm thuộc khoảng đề bài cho.

Giải chi tiết:

\(1 + \sin x - \cos x + \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 1 + \sin x - \cos x + 2\sin x\cos x = 0\).

Đặt \(t = \sin x - \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành: \(1 + t + 1 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Với \(t =  - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sin x - \cos x =  - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Xét họ nghiệm \(x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có:

\(0 \le k2\pi  < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le k < \dfrac{1}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = 0\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có:

\(0 \le \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi  < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le \dfrac{3}{2} + 2k < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{4} \le k <  - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k \in \emptyset \).

Vậy phương trình có duy nhất 1 nghiệm \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.