Cho đường tròn (O; R), đường kính AB

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tam giác đồng dạng.

2. Gọi I là giao điểm của OE và d’, chứng minh O là trực tâm của tam giác ADI.

3. Tính CM dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông, từ đó tính AE và tính AM.

Giải chi tiết:

1. Gọi F là giao điểm của OC và AM, ta có OC\( \bot \)AM.

Ta có, CM = CA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Hai tam giác vuông AME và AFC đồng dạng \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AF}} = 2 \Rightarrow AE = 2AC \Rightarrow AC = CE\) .

Vậy CM = CA = CE.

2. Gọi giao điểm của EO với d’ là I.

Ta chứng minh được \(\Delta OAE = \Delta OBI\,\,\left( {cgv - gn} \right) \Rightarrow AE = BI\), lại có AE // BI

\( \Rightarrow AEBI\) là hình bình hành \( \Rightarrow \)BE // AI.

Ta có: OD\( \bot \)BE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \) OD\( \bot \)AI, mà AB\( \bot \)DI

\( \Rightarrow \) O là trực tâm của \(\Delta \)ADI

\( \Rightarrow \) OI\( \bot \) AD \( \Rightarrow \) OE\( \bot \) AD (đpcm).

3. Ta có: OC, OD là hai phân giác của hai góc kề bù (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow OC \bot OD\).

Tam giác COD vuông tại O , có OM  là đường cao \( \Rightarrow O{M^2} = CM.DM = {R^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác).

Theo phần 1, ta có EC = CA = CM \( \Rightarrow \)2CM = AE = BD.

Mà BD = MD \( \Rightarrow \) 2CM = MD.

\( \Rightarrow 2C{M^2} = {R^2} \Rightarrow CM = \frac{{R\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AE = R\sqrt 2 \).

Xét giác vuông AEB  có: \(\frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AM = \frac{{AE.AB}}{{\sqrt {A{E^2} + A{B^2}} }} = \frac{{R\sqrt 2 .2R}}{{\sqrt {2{R^2} + 4{R^2}} }} = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\).