Cho hình thang ABCD với 2 cạnh đáy\(BC > AD;{\r...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Chứng minh tứ giác ACEB là tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

Dựa vào tính chất của tam giác cân và tính chất hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.

b)      Chứng minh FA = FD, FA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD và sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

c)      Sử dụng định lí Ptoleme: Nếu A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ giác nội tiếp đường tròn thì $AC.BD = AB.CD + AD.BC$.

Giải chi tiết:

a)      Do E đối xứng với D qua BC nên: $\widehat {BDC} = \widehat {BEC}.$

Mặt khác:

$\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BEC} = {180^0}$. Suy ra tứ giác ACEB là tứ giác nội tiếp.

Tam giác ABC cân tại A (gt) nên: $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$.

Mà $\widehat {ABC} = \widehat {AEC};\widehat {ACB} = \widehat {BEA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau).

$\Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {BEA} \Rightarrow \widehat {BEC} = 2.\widehat {AEC}.$

b)      Dễ dàng chứng minh được F là trung điểm của AE.

Do DE vuông góc với BC, AD // BC nên tam giác ADE vuông tại D và FD = FE = FA (Trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

Mặt khác: $\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BDK}$ nên tứ giác AKLD là tứ giác nội tiếp.

Có: AD // BC nên: $\widehat {ADB} = \widehat {DBC}$ (so le trong), lại có $\widehat {CAE} = \widehat {CBE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE). Do BC là trung trực của DE nên: $\widehat {DBC} = \widehat {CBE} \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {CAE}.$

Góc $\widehat {ADB}$ là góc nội tiếp chắn cung AL. Góc $\widehat {CAE}$ nằm ở vị trí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung AL chắn cung AL.

Suy ra: FA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK, kết hợp với FA = FD nên FD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK. (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

c)      Do EF là phân giác $\widehat {BEC} \Rightarrow \frac{{FC}}{{FB}} = \frac{{CE}}{{EB}} = CE\,\,\,\left( {Do\,\,BE = BD = 1} \right).$ (Tính chất đường phân giác của góc).

Ta có tam giác: $\Delta {\rm{AFC}} \sim \Delta {\rm{BFE}}\,\,\left( {{\rm{g}}{\rm{.g}}} \right) \Rightarrow \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{BE}}{{BF}}$

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ACEB có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,AE.{\rm{ }}BC = AB.{\rm{ }}CE + AC.{\rm{ }}BE\\ \Leftrightarrow 2AF.1 = AC.CE + AC.BD\\ \Leftrightarrow 2AF = AC\left( {CE + 1} \right)\\ \Rightarrow \frac{2}{{1 + CE}} = \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{BE}}{{BF}} = \frac{{BC}}{{BF}} = \frac{{BF + FC}}{{BF}} = 1 + \frac{{FC}}{{BF}} = 1 + CE\\ \Rightarrow {\left( {1 + EC} \right)^2} = 2 \Rightarrow EC = \sqrt 2  - 1.\end{array}$

Mà $EC = CD$ (tính chất đối xứng) $\Rightarrow CD = \sqrt 2  - 1$.