a)     Giải phương trình: \((\sqrt{x+4}-\sqrt{x+1}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

+) Biến đổi hệ phương trình đưa về dạng phương trình tích để giải phương trình (1).

+) Sau đó thế vào phương trình (2) để tìm nghiệm.

Giải chi tiết:

a)     Điều kiện: \(x\ge -1.\)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 4} = a\;\;\left( {a \ge 0} \right)\\
\sqrt {x + 1} = b\;\;\left( {b \ge 0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 5.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow (a - b)(ab + 1) = {a^2} - {b^2}\\
\Leftrightarrow (a - b)(ab + 1) = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\\
\Leftrightarrow (a - b)(ab - a - b + 1) = 0\\
\Leftrightarrow (a - b)(a - 1)(b - 1) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = b\\
a = 1\\
b = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 4 = x - 1\\
x + 4 = 1\\
x - 1 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 3\;\;\left( {ktm} \right)\\
x = 2\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=2.\)

 b)  Hệ đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3x = {y^3} + y\\
{x^2} = {y^2} + 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} = 3x + y\;\;\;\;\left( 1 \right)\\
{x^2} - {y^2} = 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 3\left( {{x^3} - {y^3}} \right) = 3\left( {3x + y} \right)\\
\Leftrightarrow 3({x^3} - {y^3}) = ({x^2} - {y^2})(3x + y)\\
\Leftrightarrow 3\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {3x + y} \right)\\
\Leftrightarrow (x - y)\left[ {3{x^2} + 3xy + 3{y^2} - (3x + y)(x + y)} \right] = 0\\
\Leftrightarrow (x - y)(2{y^2} - xy) = 0\\
\Leftrightarrow (x - y)y(2y - x) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
y = 0\\
2y - x = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} = {x^2} + 3\\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} = 3\\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4{y^2} = {y^2} + 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 3\\
3{y^2} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pm \sqrt 3 \Rightarrow \left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {\sqrt 3 ;\;0} \right),\;\;\left( { - \sqrt 3 ;\;0} \right)} \right\}.\\
y = \pm 1 \Rightarrow \left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { - 2;\; - 1} \right),\;\left( {2;\;1} \right)} \right\}.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) là: \(\sqrt{3};0),(-\sqrt{3};0);(2;1);(-2;-1).\)

 Chọn C