Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {x + 3}  - \sq...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+Phương trình có dạng: \(\alpha \left( {\sqrt {x + a} - \sqrt {b - x} } \right) + \beta \sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {b - x} \right)} = \gamma \)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + a \ge 0\\b - x \ge 0\end{array} \right.\)

Đặt:\(\sqrt {x + a} - \sqrt {b - x} = t\,\, \Rightarrow \sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {b - x} \right)} \) theo t

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\6 - x \ge 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\x \le 6\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow - 3 \le x \le 6\)

Đặt: \(\sqrt {x + 3} - \sqrt {6 - x} = t\,\,\) 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 3} - \sqrt {6 - x} } \right)^2} = {t^2} \\ \Leftrightarrow x + 3 + 6 - x - 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} = {t^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} = 9 - {t^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} = \dfrac{{9 - {t^2}}}{2}\,\,\,\left( { - 3 \le t \le 3} \right)\end{array}\)

Khi đó, phương trình trở thành: \(t = 3 + \dfrac{{9 - {t^2}}}{2}\) \(\Leftrightarrow {t^2} + 2t - 15 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 5\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
t = 3 \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} - \sqrt {6 - x} = 3\\
\Leftrightarrow \sqrt {x + 3} = 3 + \sqrt {6 - x} \\
\Leftrightarrow x + 3 = 9 + 6 - x + 6\sqrt {6 - x} \\
\Leftrightarrow 2x - 12 = 6\sqrt {6 - x} \\
\Leftrightarrow x - 6 = 3\sqrt {6 - x} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 6\\
{x^2} - 12x + 36 = 54 - 9x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 6\\
{x^2} - 3x - 18 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 6\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 6\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\
x = - 3\,\,\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {6}

Chọn C.