Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc  của điểm O lên mặt phẳng (P).Gọi O’ là điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (P). Khi đó, H là trung điểm của OO’. Từ đó, tìm được tọa độ O’.

Giải chi tiết:

Gọi H là hình chiếu của O qua (P)

\(OH:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH}  = \overrightarrow {{n_P}}  = (1;2; - 1)\\O(0;0;0)\end{array} \right. \Rightarrow OH:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z =  - t\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {t;2t; - t} \right)\)

Tọa độ điểm H thỏa mãn:

\(t + 2.2t - ( - t) - 2 = 0 \Leftrightarrow 6t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow H\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)

Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua (P). Khi đó H là trung điểm của OO’. Suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = 2{x_H} - {x_O}\\{y_{O'}} = 2{y_H} - {y_O}\\{z_{O'}} = 2{z_H} - {z_O}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = \frac{2}{3}\\{y_{O'}} = \frac{4}{3}\\{z_{O'}} = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow O'\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\)

Chọn C