Kết luận nào sau đây đúng về nghiệm của hệ phương...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (1) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (2)

Giải chi tiết:

ĐK: \(x\ge 4,y\ge 16\)

Từ phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}{y^2} - \left( {2 + {x^2}} \right)y + 2{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} - 2y - {x^2}y + 2{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y - 2} \right) - {x^2}\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\left( {y - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = {x^2}\end{array} \right.\end{array}\)

Từ phương trình (2) ta có \(y\ge 16\)suy ra loại trường hợp \(y=2\)

Với \(y={{x}^{2}}\) thay vào  phương trình (2) ta có

\(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}-2\sqrt{{{x}^{2}}-16}=2x-12\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{{{x}^{2}}-16}-\sqrt{x+4}-\sqrt{x-4}-12=0\)

Điều kiện để phương trình có nghĩa là \(x\ge 4\)

Đặt \(t=\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}(t>0)\), ta có \({{t}^{2}}=2x+2\sqrt{{{x}^{2}}-16}\) . Từ phương trình ta có: \({t^2} - t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t =  - 3\end{array} \right.\) 

Loại giá trị \(t=-3\)

Với \(t=4\)ta có

 \(\begin{array}{l}\sqrt {x + 4}  + \sqrt {x - 4}  = 4 \Leftrightarrow 2x + 2\sqrt {{x^2} - 16}  = 16\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 16}  = 16 - 2x \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 16}  = 8 - x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 8\\{x^2} - 16 = {\left( {8 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 8\\16x - 80 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 8\\x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5 \Rightarrow y = 25\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  \(\left( x;y \right)\) là \(\left( 5;25 \right)\)

Chọn B.