Kết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Điều kiện xác định của hệ phương trình là \(x \ne 0\). Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \(x \ne 0\), sau đó đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định của hệ phương trình là \(x \ne 0\).

Hệ (I) \( \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l}x + y + 1 - \frac{3}{x} = 0\,(1)\\{\left( {x + y} \right)^2} - \frac{5}{{{x^2}}} + 1 = 0\,(2)\end{array} \right.\)

Đặt \(u = x + y,\;v = \frac{1}{x}\), hệ phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u - 3v + 1 = 0\,\\{u^2} - 5{v^2} + 1 = 0\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3v - 1\,\\{u^2} - 5{v^2} + 1 = 0\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3v - 1\,\\{\left( {3v - 1} \right)^2} - 5{v^2} + 1 = 0\,\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3v - 1\,\\4{v^2} - 6v + 2 = 0\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3v - 1\,\\\left[ \begin{array}{l}v = 1\\v = \frac{1}{2}\end{array} \right.\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}v = 1\\u = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}v = \frac{1}{2}\\u = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}v = 1\\u = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = 1\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}v = \frac{1}{2}\\u = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{2}\\x + y = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Hệ phương trình có 2 nghiệm \((x;y)\) là \((1;1)\) và \(\left( {2; - \frac{3}{2}} \right)\)

Chọn B