Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA,SB,SC\) đôi một vu...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Gọi \(H\) là trực tâm tam giác, chứng minh \(SH\bot \left( ABC \right)\) bằng cách sử dụng định lý: “Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì nó vuông góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó”.

- Tính độ dài \(SH\) bằng cách sử dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

Ta sẽ chứng minh \(SH\) là đường cao của hình chóp.

Gọi \(E,D\) lần lượt là hình chiếu của \(B,A\) lên \(AC,BC\).

Khi đó \(BE\bot AC,AD\bot BC\)

Ta có: \(SB\bot SA;SB\bot SC\Rightarrow SB\bot \left( SAC \right)\Rightarrow SB\bot AC\).

\(\Rightarrow AC\bot \left( SBE \right)\Rightarrow AC\bot SH\).

Chứng minh tương tự ta cũng được \(BC\bot SH\).

Do đó \(SH\) là đường cao của hình chóp.

Vì \(SB\bot \left( SAC \right)\) nên \(SB\bot SE\Rightarrow \Delta SBE\) vuông tại \(S\).

Lại có \(\Delta SAC\) vuông tại \(S\) nên \(\frac{1}{S{{E}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{C}^{2}}}\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow \frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{E}^{2}}}+\frac{1}{S{{B}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{C}^{2}}}+\frac{1}{S{{B}^{2}}} \\ & =\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{2{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{11}{6{{a}^{2}}} \\ & \Rightarrow S{{H}^{2}}=\frac{6{{a}^{2}}}{11}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{11}}=\frac{a\sqrt{66}}{11} \\\end{align}\)

Vậy \(d\left( S,\left( ABC \right) \right)=SH=\frac{a\sqrt{66}}{11}\).

Chọn D.