Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giá...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của \(A'B'\)\(\Rightarrow \,\,AH=\frac{a}{2}.\)

Gọi N là trung điểm của BC \(\Rightarrow AN//A'M\)

Khi đó \(\widehat{\left( A'M;AB' \right)}=\widehat{\left( AN;AB' \right)}\).

Trong tam giác vuông HAB’ ta có \(AB'=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Gọi K là trung điểm của AB. Khi đó \(B'K\parallel AH\Rightarrow B'K\bot KN\)

\(\Rightarrow B'N=\sqrt{B'{{K}^{2}}+K{{N}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AN=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) Áp dụng hệ quả của định lý hàm số cosin trong \(\Delta \,AB'N\) ta có

\(\cos \widehat{\left( A'M;AB' \right)}=\left| \cos \widehat{NAB'} \right|=\frac{\left| \frac{2{{a}^{2}}}{4}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}-\frac{2{{a}^{2}}}{4} \right|}{2.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.\) .

Chọn C.