Đạo hàm cấp 4 của hàm số \(y=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Với hàm phân thức bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì ta đưa mẫu số về dạng tích và phân tích phân số thành tổng, hiệu các phấn số dạng \(\frac{A}{ax+b}\)

+) Tính đạo hàm tổng quát \({{\left( \frac{A}{ax+b} \right)}^{\left( n \right)}}\)

Giải chi tiết:

\(\begin{align}   y=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-5x+6}=\frac{2x+1}{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}=\frac{7}{x-3}-\frac{5}{x-2} \\   \Rightarrow {{y}^{\left( 4 \right)}}=7{{\left( \frac{1}{x-3} \right)}^{\left( 4 \right)}}-5{{\left( \frac{1}{x-2} \right)}^{\left( 4 \right)}} \\ \end{align}\)

Xét hàm số \(\frac{1}{ax+b},\,a\ne 0\) ta có :

\(\begin{align}   y'=\frac{-a}{{{\left( ax+b \right)}^{2}}} \\   y''=\frac{a.2\left( ax+b \right).a}{{{\left( ax+b \right)}^{4}}}=\frac{2{{a}^{2}}}{{{\left( ax+b \right)}^{3}}} \\   y'''=\frac{-2{{a}^{2}}.3{{\left( ax+b \right)}^{2}}.a}{{{\left( ax+b \right)}^{6}}}=\frac{-2.3.{{a}^{3}}}{{{\left( ax+b \right)}^{4}}} \\   .... \\   {{y}^{\left( n \right)}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}.{{a}^{n}}.n!}{{{\left( ax+b \right)}^{n+1}}} \\   \Rightarrow {{\left( \frac{1}{x-3} \right)}^{\left( 4 \right)}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{4}}{{.1}^{4}}.4!}{{{\left( x-3 \right)}^{5}}}=\frac{4!}{{{\left( x-2 \right)}^{5}}} \\   \,\,\,\,\,{{\left( \frac{1}{x-2} \right)}^{\left( 4 \right)}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{4}}{{.1}^{4}}.4!}{{{\left( x-2 \right)}^{5}}}=\frac{4!}{{{\left( x-2 \right)}^{5}}} \\   \Rightarrow {{y}^{\left( 4 \right)}}=7{{\left( \frac{1}{x-3} \right)}^{\left( 4 \right)}}-5{{\left( \frac{1}{x-2} \right)}^{\left( 4 \right)}}=\frac{7.4!}{{{\left( x-3 \right)}^{5}}}-\frac{5.4!}{{{\left( x-2 \right)}^{5}}} \\ \end{align}\)

Chọn A.