Tìm số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển nhị th...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm \(n\) bằng các công thức \({P_n} = n!;\,\,A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\) và \(C_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!.k!}}.\)Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{align}  & n\in {{Z}^{+}} \\  & n\ge 4 \\ \end{align} \right..\) Phương trình \({1 \over {C_n^2}} + {1 \over {C_n^3}} = {{16} \over {C_n^4}} \Leftrightarrow {2 \over {n\left( {n - 1} \right)}} + {6 \over {n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}} = {{384} \over {n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow 1 + {3 \over {n - 2}} = {{192} \over {\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}} \Leftrightarrow \left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right) + 3\left( {n - 3} \right) = 192 \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 195 = 0 \Leftrightarrow n = 15\,\left( {tm} \right)\)

Với \(n = 15,\) theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\({\left( {\sqrt x  - {2 \over {\root 3 \of x }}} \right)^{15}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{15} {C_{15}^k} .{\left( {\sqrt x } \right)^{15\, - \,k}}.{\left( { - {2 \over {\root 3 \of x }}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{15} {C_{15}^k} .{\left( { - \,2} \right)^k}.{{{x^{{{15\, - \,k} \over 2}}}} \over {{x^{{k \over 3}}}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{15} {C_{15}^k} .{\left( { - \,2} \right)^k}.{x^{{{15\, - \,k} \over 2}\, - \,{k \over 3}}}.\)

Số hạng chứa \({x^5}\) ứng với \({{15 - k} \over 2} - {k \over 3} = 5 \Leftrightarrow k = 3\,\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Số hạng cần tìm là \(C_{15}^3.{\left( { - \,2} \right)^3}.{x^5} =  - \,3640{x^5}.\)

Chọn A