Có bao nhiêu số phức z  thỏa mãn \(|z+3i|=\sqrt{13...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi số phức cần tìm là \(z=a+bi\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm \(a,b\Rightarrow z\).

Số phức \(z=a+bi\) là số thuần ảo nếu \(a=0\).

Giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( z\ne -2 \right)\) , ta có \(|z+3i|=\sqrt{13}\Leftrightarrow |a+bi+3i|=\sqrt{13}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b+3)}^{2}}=13\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6b=4\)  (1)

Mặt khác \(\frac{z}{z+2}=\frac{a+bi}{a+bi+2}=\frac{(a+bi)(a+2-bi)}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{({{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}})+2bi}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

 \(\frac{z}{z+2}\)  là số thuần ảo khi \({{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}=0\)  (2)

Lấy (1) trừ (2) vế với vế ta được \(6b-2a=4\Leftrightarrow a+2=3b\)

\(\left( 2 \right) \Rightarrow a\left( {a + 2} \right) + {b^2} = 0 \Leftrightarrow a.3b + {b^2} = 0 \Leftrightarrow b\left( {3a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b =  - 3a\end{array} \right.\)

Với \(b=0\Rightarrow a=-2\Rightarrow z=-2\) (loại do \(z\ne -2\)).

Với \(b =  - 3a \Rightarrow a + 2 = 3.\left( { - 3a} \right) \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{5} \Rightarrow b = \frac{3}{5} \Rightarrow z =  - \frac{1}{5} + \frac{3}{5}b\) (thỏa mãn)

Vậy có 1 số phức thỏa mãn bài toán.

Chọn D