Cho tích phân \(\int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {{{...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\tan \left( {a - b} \right) = {{\tan a - \tan b} \over {1 + \tan a\tan b}},\,\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = \left( {\cos a - \sin a} \right)\left( {\cos a + \sin a} \right)\)

Rút gọn và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân. 

Giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \tan \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = {{\tan x - 1} \over {1 + \tan x}} = {{{{\sin x} \over {\cos x}} - 1} \over {1 + {{\sin x} \over {\cos x}}}} = {{\sin x - \cos x} \over {\sin x + \cos x}}  \cr   & \cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x =  - \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)  \cr   &  \Rightarrow {{\tan \left( {x - {\pi  \over 4}} \right)} \over {\cos 2x}} = {{ - 1} \over {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}} = {{ - 1} \over {2{{\sin }^2}\left( {x + {\pi  \over 4}} \right)}}  \cr   &  \Rightarrow I =  - \int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {{{dx} \over {2{{\sin }^2}\left( {x + {\pi  \over 4}} \right)}}}  = \left. {{1 \over 2}\cot \left( {x + {\pi  \over 4}} \right)} \right|_0^{{\pi  \over 6}} = {1 \over 2}\left( {2 - \sqrt 3  - 1} \right) = {1 \over 2}\left( {1 - \sqrt 3 } \right)  \cr   &  \Rightarrow T = 2I + \sqrt 3  = 1 - \sqrt 3  + \sqrt 3  = 1. \cr} \)

Chọn B.