Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt ph...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm phương trình các đường thẳng d₁, d₂ và d₃.

Nhận xét các vector chỉ phương của d₁, d₂ và d₃ không cùng phương.

Tính \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} \) với \(\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} \) là VTCP của d₁ và d­₂, \(A \in {d_1};B \in {d_2}\).

- Nếu \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}  \ne 0 \Rightarrow {d_1},{d_2}\) chéo nhau thì loại đáp án A và C.

- Nếu \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}  = 0 \Rightarrow {d_1},{d_2}\) cắt nhau thì loại đáp án B. Khi đó tìm \(M = {d_1} \cap {d_2}\) và thay tạo độ điểm M vào phương trình d₃. Nếu \(M \in {d_3} \Rightarrow \) d₁, d₂ và d₃ đồng quy.

Giải chi tiết:

Xét hệ phương trình 

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  2x - 4y + 6z - 1 = 0 \hfill \cr   x + 3y - 2z + 6 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  2x - 4y + 6z - 1 = 0 \hfill \cr   3x + 9y - 6z + 18 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  5x + 5y + 17 = 0 \hfill \cr   2x - 4y + 6z - 1 = 0 \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  - y - {{17} \over 5} \hfill \cr    - 2y - {{34} \over 5} - 4y + 6z - 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  - y - {{17} \over 5} \hfill \cr    - 6y + 6z - {{39} \over 5} = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  x =  - y - {{17} \over 5} \hfill \cr   z = y + {{39} \over {30}} \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Đặt \(y = t \Rightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {{17} \over 5} - t \hfill \cr   y = t \hfill \cr   z = {{39} \over {30}} + t \hfill \cr}  \right.\) là phương trình đường thẳng d₁.

Tương tự như vậy ta tìm được phương trình đường thẳng d₂là : \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{9}{2} + 5t'\\y = - \frac{1}{2} - t'\\z = t'\end{array} \right.\)

và phương trình đường thẳng \({d_3}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{15}}{2} - 25t''\\y = \frac{7}{2} - 11t''\\z = t''\end{array} \right.\)

Ta có \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;1;1} \right);\,\,\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {5; - 1;1} \right);\,\,\overrightarrow {{u_3}}  = \left( { - 25; - 11;1} \right)\) không cùng phương nên loại đáp án D.

Lấy \(A\left( { - {{17} \over 5};0;{{39} \over {30}}} \right) \in {d_1},\,\,B\left( {{{ - 9} \over 2}; - {1 \over 2};0} \right),\,\,C\left( {{{15} \over 2};{7 \over 2};0} \right) \in {d_3}\)

Xét \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;6; - 4} \right);\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( { - {{11} \over {10}}; - {1 \over 2}; - {{39} \over {30}}} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}  = 0 \Rightarrow {d_1};{d_2}\) cắt nhau \( \Rightarrow \) Loại đáp án B.

Xét hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}- \frac{{17}}{5} - t = - \frac{9}{2} + 5t'\\t = - \frac{1}{2} - t'\\\frac{{39}}{{30}} + t = t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 9}}{{10}}\\t' = \frac{2}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{5}{2}; -\frac{9}{{10}};\frac{2}{5}} \right)\) là giao điểm của d₁ và d₂.

Thay tạo độ điểm M vào phương trình đường thẳng d₃ ta có : \({d_3}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}- \frac{5}{2} = \frac{{15}}{2} - 25t''\\- \frac{9}{{10}} = \frac{7}{2} - 11t''\\\frac{2}{5} = t''\end{array} \right. \Rightarrow t'' = \frac{2}{5} \Rightarrow M \in{d_3}\)

Vậy ba đường thẳng d₁, d₂ và d₃ đồng quy tại \(M\left( { - {5 \over 2}; - {9 \over {10}};{2 \over 5}} \right)\).

Chọn A.