Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta xác định điểm \(O\) sao cho \(AO\bot \left( SBC \right).\) Cụ thể gọi \(K\in BS\) sao cho \(AK\bot BS.\) Hạ \(AO\bot CK.\) Ta chứng minh \(AO\bot \left( SBC \right).\)Sử dụng định lý Py-ta-go và hệ thức trong tam giác vuông để tính \(CK,AC\) và từ đó suy ra \(AO.\)

Giải chi tiết:

Ta có \(\left\{ \begin{align} & \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \\ & CA\bot BA \\ & \left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow CA\bot \left( SAB \right).\)

Từ \(A\) kẻ \(AK\bot SB.\) Ta có \(CA\bot \left( SAB \right)\Rightarrow CA\bot SB.\)

Ta có \(\left\{ \begin{align} & AK\bot SB \\ & CA\bot SB \\ \end{align} \right.\Rightarrow SB\bot \left( AKC \right).\)

Từ \(A\) kẻ \(AO\bot KC,\left( KC\in \left( SBC \right) \right).\)

Do \(SB\bot \left( AKC \right)\Rightarrow SB\bot AO.\)

Do đó \(\left\{ \begin{align}& AO\bot SB \\& AO\bot KC \\\end{align} \right.\Rightarrow AO\bot \left( SBC \right).\)

Do \(SB\bot \left( ACK \right)\Rightarrow SB\bot CK.\) \(\Delta SBC\) đều nên \(CK=\frac{\sqrt{3}}{2}a.\)

 Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác \(AKC\) vuông tại \(A,\) ta có\(AC=\frac{a}{2}\Rightarrow AK=\sqrt{C{{K}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a.\)

\(ACK\) vuông tại \(A\) có \(AO\) là đường cao nên \(\frac{1}{A{{O}^{2}}}=\frac{1}{A{{K}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{\sqrt{2}}{2}a \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{6}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AO=\frac{\sqrt{6}}{6}a.\)

Chọn đáp án D.