Tìm m để phương trình \({4^{\sqrt {x + 1}  + \sqrt...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = {2^{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x} }} = t(x)\,\,\,\left( {t\left( x \right) > 0} \right)\), lưu ý các điều kiện xác định của phương trình.

- Khi đưa về phương trình ẩn t cần tìm khoảng giá trịc của t \(\left( {t \in \left[ {a;b} \right]} \right)\), dựa vào khoảng giá trị của x.

- Đưa về phương trình dạng \(f\left( t \right) = m\) và tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm: \(\mathop {\lim }\limits_{t \in \left[ {a;b} \right]} f\left( t \right) \le m \le \mathop {max}\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} f\left( t \right)\).

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \matrix{  x + 1 \ge 0 \hfill \cr   3 - x \ge 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 3.\)

Đặt \(t = {2^{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x} }} = t(x)\,\,\left( {t\left( x \right) > 0} \right)\).Ta có \(t'\left( x \right) = \left( {{1 \over {2\sqrt {x + 1} }} - {1 \over {2\sqrt {3 - x} }}} \right){.2^{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x} }}\ln 2.\)

\( \Rightarrow t'(x) = 0 \Leftrightarrow {1 \over {2\sqrt {x + 1} }} - {1 \over {2\sqrt {3 - x} }} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  = \sqrt {3 - x}  \Leftrightarrow x = 1.\)

Bảng biến thiên

Do đó \(t \in \left[ {4;{4^{\sqrt 2 }}} \right]\).

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm m để phương trình \({t^2} - 14t + 8 = m\,\,(*)\) có nghiệm với \(t \in \left[ {4;{4^{\sqrt 2 }}} \right]\).

Xét hàm số \(g(t) = {t^2} - 14t + 8,\,\,t \in \left[ {4;{4^{\sqrt 2 }}} \right].\)

Ta có \(g'(t) = 2t - 14,\,\,g'(t) = 0 \Leftrightarrow 2t - 14 = 0 \Leftrightarrow t = 7\)

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m cần tìm là \( - 41 \le m \le  - 32.\)

Chọn C.