Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{2x}}64 +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức \({\log _a}b = {1 \over {{{\log }_b}a}},\,\,{\log _{{a^n}}}{b^m} = {m \over n}{\log _a}b,\,\,{\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \matrix{  0 < 2x \ne 1 \hfill \cr   0 < {x^2} \ne 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x > 0 \hfill \cr   x \ne {1 \over 2} \hfill \cr   x \ne 0 \hfill \cr   x \ne  \pm 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x > 0 \hfill \cr   x \ne {1 \over 2} \hfill \cr   x \ne 1 \hfill \cr}  \right.\)

\(\eqalign{  & {\log _{2x}}64 + {\log _{{x^2}}}16 \ge 3 \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_{64}}2x}} + {1 \over {{{\log }_{16}}{x^2}}} \ge 3 \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_{{4^3}}}2x}} + {1 \over {{{\log }_{{4^2}}}{x^2}}} \ge 3  \cr   &  \Leftrightarrow {3 \over {{{\log }_4}2x}} + {1 \over {{{\log }_4}x}} \ge 3 \Leftrightarrow {3 \over {{1 \over 2} + {{\log }_4}x}} + {1 \over {{{\log }_4}x}} \ge 3 \cr} \)

Đặt \({\log _4}x = t\), khi đó bất phương trình trở thành:

\(\eqalign{  & {3 \over {{1 \over 2} + t}} + {1 \over t} \ge 3 \Leftrightarrow {6 \over {1 + 2t}} + {1 \over t} \ge 3 \Leftrightarrow {{6t + 1 + 2t - 3t - 6{t^2}} \over {t\left( {1 + 2t} \right)}} \ge 0  \cr   &  \Leftrightarrow {{ - 6{t^2} + 5t + 1} \over {t\left( {1 + 2t} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{   - {1 \over 2} < t \le  - {1 \over 6} \hfill \cr   0 < t \le 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{   - {1 \over 2} < {\log _4}x \le  - {1 \over 6} \hfill \cr   0 < {\log _4}x \le 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {1 \over 2} < x \le {1 \over {\root 3 \of 2 }} \hfill \cr   1 < x \le 4 \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {{1 \over 2};{1 \over {\root 3 \of 2 }}} \right] \cup \left( {1;4} \right]\)

Chọn D.