Cho hàm số \(f\left( x \right)=x+\sqrt{{{x}^{2}}+1...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp \(\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\), sau đó thay vào và giải bất phương trình.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 1 + \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Rightarrow 2x\left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) - \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2x\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\frac{{2x - \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 0\end{array}\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} + 1}  \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - \sqrt {{x^2} + 1}  \ge 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 0\)  

\(\Rightarrow \left( 1 \right)\) luôn đúng.

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2x \ge \sqrt {{x^2} + 1}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\3{x^2} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy \(x\in \left[ \frac{1}{\sqrt{3}};+\infty  \right)\)

Chọn A.