Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi \(y'\ge 0\,\,\forall x\in R\) và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm.

+) Cô lập m, đưa về bất phương trình dạng \(m\le f\left( x \right)\,\,\forall x\in R\Leftrightarrow m\le \underset{R}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\)

Giải chi tiết:

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi \(y'=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}-m\ge 0\,\,\forall x\in R\) và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\(\Leftrightarrow m\le \frac{2x}{{{x}^{2}}+1}=f\left( x \right)\,\,\forall x\in R\Rightarrow m\le \underset{R}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right)=\frac{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)-2x.2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{-2{{x}^{2}}+2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\pm 1\)

BBT:

\(\Rightarrow \underset{R}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=-1\Leftrightarrow m\le -1\)

Khi m = -1 ta có \(y'=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}+1=\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}=0\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow y'=0\) tại hữu hạn điểm. Do đó m = -1 thỏa mãn.

Chọn C.