Hàm số \(y=2\cos 3x+3\sin 3x-2\) có tất cả bao nhi...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức biến đổi \(\sin a\cos b+\cos a\sin b=\sin \left( a+b \right)\) sau đó đánh giá hàm số để có được giá trị nguyên.

Giải chi tiết:

TXD : \(D=\mathbb{R}\)

\(y=2\cos 3x+3\sin 3x-2\) \(=\sqrt{13}\left( \frac{2}{\sqrt{13}}\cos 3x+\frac{3}{\sqrt{13}}\sin 3x \right)-2\)

\(\Leftrightarrow y=\sqrt{13}\sin \left( 3x+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}} \right)-2\)

Để hàm số ycó giá trị nguyên \(\Leftrightarrow \sqrt{13}\sin \left( 3x+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}} \right)\) nguyên

\(\Leftrightarrow \sin \left( 3x+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}} \right)=\frac{n}{\sqrt{13}}\) ( với \(n\) là một số nguyên).

Mà : \(\sin \left( 3x+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}} \right)\in \left[ -1;1 \right]\)

\(\Rightarrow -1\le \frac{n}{\sqrt{13}}\le 1\Leftrightarrow -\sqrt{13}\le n\le \sqrt{13}\)

Mà : \(n\in \mathbb{Z}\)

\(\Rightarrow n=\left\{ 0;\pm 1;\pm 2\pm 3 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ycó 7giá trị nguyên.

Chọn A.