Xét các số thực dương x,...

Câu hỏi: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn $\ln (\frac{1 - 2 x}{x + y}) = 3 x + y - 1.$ Tính giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của biểu thức $P = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x y}} .$

A. $P_{\min} = 8.$

B. $P_{\min} = 16.$

C. $P_{\min} = 4.$

D. $P_{\min} = 2.$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

$\begin{array}{l} \ln (\frac{1 - 2 x}{x + y}) = 3 x + y - 1, (0 < x < \frac{1}{2}, y > 0) \\ \Leftrightarrow \ln (1 - 2 x) + 1 - 2 x = \ln (x + y) + x + y \\ f (t) = t + \ln t \Rightarrow f' (t) = 1 + \frac{1}{t} > 0 \\ \Rightarrow f (1 - 2 x) = f (x + y) \\ \Leftrightarrow 1 - 2 x = x + y \Leftrightarrow y = 1 - 3 x \end{array}$