Đường thẳng

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Hoành độ các giao điểm của đường thẳng $d:y=x+4$ và độ thị hàm số $y=x^3+2m{x}^2+(m+3)x+4$

là nghiệm của PT $x^3+2m{x}^2+(m+3)x+4=x+4\Rightarrow x[x^2+2mx+(m+2\left)\right]=0$

Điều kiện để tồn tại ba giao điểm là $\left\{\begin{array}{l}∆\text{'}=m^2-m-2=(m+1)(m-2)>0\\ m+2\not\equiv 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m>2\\ m<-1\left(1\right)\end{array}\right.\\ m\not\equiv -2\end{array}\right.$ 

Khi đó tọa độ ba giao điểm là A(0;4) , B($A(0;4) , B(x_1;4+x_1)$) và $C(x_2;4+x_2)\Rightarrow \overrightarrow{BC}=(x_2-x_1;x_2-x_1)$ 

Ta có $BC=\sqrt{2{(x}^{}}$₂-x₁)2=2x2+x12-4x1x2=22(m2-m-2) 

PT của đt BC là $x-y+4=0\Rightarrow d_{M/BC}=\frac{\left|1-3+4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$

 Vậy nên $S_{MBC}=\frac{1}{2}\sqrt{2}.2\sqrt{2(m^2-m-2)}=2\sqrt{(m^2-m-2)}=4\iff m^2-m-6=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=-2\\ m=3\end{array}\right.$ 

Kết hợp với điều kiện (1) $\Rightarrow m=3$