Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật...

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A B = 2, A D = 2 \sqrt{3}$ . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, CD, CB. Tính côsin góc tạo bởi mặt phẳng (MNP) và (SCD).

A. $\frac{2 \sqrt{435}}{145}$

B. $\frac{11 \sqrt{145}}{145}$

C. $\frac{2 \sqrt{870}}{145}$

D. $\frac{3 \sqrt{145}}{145}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó $S H ⊥ (A B C D)$

Ta có $S H ⊥ A B; A B ⊥ H N; H N ⊥ S H$ và $S H = \sqrt{3}$

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O, B thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy và S thuộc tia Oz. Khi đó:

$B (1; 0; 0); A (- 1; 0; 0); N (0; 2 \sqrt{3}; 0); C (1; 2 \sqrt{3}; 0); D (- 1; 2 \sqrt{3}; 0); S (0; 0; \sqrt{3}); M (- \frac{1}{2}; 0; \frac{\sqrt{3}}{2}); P (1; \sqrt{3}; 0)$

Mặt phẳng (SCD) nhận $\vec{n_{1}} = - \frac{\sqrt{3}}{6} [\vec{C D}, \vec{S C}] = (0; 1; 2)$ làm một vectơ pháp tuyến; mặt phẳng (MNP) nhận $\vec{n_{2}} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} [\vec{M N}, \vec{M P}] = (\sqrt{3}; 1; 5)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Gọi $\emptyset$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) thì

$\cos \emptyset = \frac{|\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| . |\vec{n_{2}}|} = \frac{11 \sqrt{145}}{145}$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

↑