- Hướng dẫn giải

$$\begin{gathered} A_n^2+3C_n^{n-2}-C_{n+1}^3 \\ =A_{n+1}^2-2n \end{gathered}$$

Điều kiện: $n\in \mathrm{\mathbb{N}},n\ge 2$

Với điều kiện trên, (*) tương đương với:

$$\begin{gathered} n\left(n-1\right)+\frac{3}{6}n\left(n-1\right) \\ -\frac{1}{6}n\left(n-1\right)\left(n+1\right) \\ =n\left(n-1\right)-2n \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \frac{3}{2}\left(n-1\right)-\frac{1}{6}\left(n^2-1\right) \\ =n+1-2\iff n=8 \end{gathered}$$

Khi đó :

$$\begin{gathered} P\left(x\right)={\left(1+2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}\right)}^4 \\ =\sum _{k=0}^4{C}_4^k{\left(-3\right)}^{4-k} \\ {x}^{\frac{4-k}{3}}{\left(1+2x^{\frac{1}{2}}\right)}^k \\ =\sum _{k=0}^4{C}_4^k{\left(-3\right)}^{4-k} \\ {x}^{\frac{4-k}{3}}.\underset{i=0}{\overset{k}{\sum C_k^i}}.2^i{x}^{\frac{i}{2}} \end{gathered}$$

Hệ số của số hạng x ứng với

$$\begin{gathered} \frac{4-k}{3}+\frac{i}{2}=1 \\ \iff 2k=3i=2 \end{gathered}$$

Vì $i,k\in \mathrm{\mathbb{N}}$ và $i\le k\le 4$ nên ta suy ra: k = 4, i = 2 hoặc k = 2 và i = 4.Như vậy hệ số của x trong khai triển là:

$$\begin{gathered} C_4^{-4}{\left(-3\right)}^0.C_4^2.2^2 \\ +C_4^2{\left(-3\right)}^2.C_2^0.2^0 \\ =78 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là B