Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng c...

- Hướng dẫn giải

Ta vẽ hình như hình vẽ. E là trung điểm của CD, $OH\perp SE$.

Dễ dàng cm được $OH=d\left(O;\left(SCD\right)\right)$

                             $=\frac{1}{2}d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2$

Gọi $\widehat{SEO}=\alpha (0<\alpha <{90}^0)$

        $\Rightarrow OE=\frac{OH}{\sin \alpha }=\frac{2}{\sin \alpha }$

         $SO=\frac{OH}{\cos \alpha }=\frac{2}{\cos \alpha }$

$\Rightarrow$Cạnh của hình vuông $ABCD$ là : $\frac{4}{\sin \alpha }$

Từ đó $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{32}{3}.\frac{1}{{\sin }^2\alpha .\cos \alpha }$.

Đặt $\cos \alpha =t\left(t\in \left(0;1\right)\right)$ thì ${\sin }^2\alpha .\cos \alpha =t\left(1-t^2\right)$.

Xét hàm $f\left(t\right)=t-t^3;f^{\text{'}}\left(t\right)=1-3t^2;f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}t=-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ t=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right.$

Ta có bảng biến thiên trên $\left(0;1\right)$

Vậy giá trị nhỏ nhất của V đạt được khi $f\left(t\right)$ lớn nhất tức là $\min V=16\sqrt{3}$.

Sửa lại đề bài thành giá trị nhỏ nhất