Lăng trụ \(ABC.A'B'C',\,\,\Delta ABC\) vuông ở A,...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

* Nối \(BA'\cap AB'=I\). Vẽ IE // B’C \(\left( E\in AC \right)\).

\(\Rightarrow \widehat{\left( A'B;B'C \right)}=\widehat{\left( IB;IE \right)}\)

* Tam giác vuông BAE : \(BE=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}\)

* Tam giác vuông A’HB :

\(A'B=\sqrt{5{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{6}\Rightarrow IB=\frac{a\sqrt{6}}{2}\).

* Tam giác vuông A’HA :

\(AA'=\sqrt{5{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{6}\Rightarrow BB'=a\sqrt{6}\).

* Tam giác vuông HA’B’ : \(B'H=\sqrt{5{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{6}\)   

* \(\Delta BB'C\)  có B’H là đường trung tuyến

\(\Rightarrow B'{{B}^{2}}+B'{{C}^{2}}=\frac{B{{C}^{2}}}{2}+2B'{{H}^{2}}\Rightarrow B'C=a\sqrt{8}\Rightarrow IE=a\sqrt{2}\)* Định lí cos trong \(\Delta BIE\) : \(\cos I=\frac{B{{E}^{2}}-I{{B}^{2}}-I{{E}^{2}}}{-2.IB.IE}=\frac{7\sqrt{3}}{24}\)

Chọn đáp án D.