Cho \((P):y={{x}^{2}}\)và \((d):...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P).

+) Từ đó tìm điều kiện của m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

+) Sử dụng bình phương 2 vế để biến đổi biểu thức đã cho. Sử dụng định lý Vi – ét biến đổi biểu thức theo \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}\).

+) Biện luận m theo dấu giá trị tuyệt đối. Rồi tìm m, kết hợp đối chiếu điều kiện.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)  \({{x}^{2}}=(m+4)x-3m-3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-(m+4)x+3m+3=0\,\,\,\,\,(*)\)

(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt\(\Leftrightarrow (*)\)có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow \Delta ={{(m+4)}^{2}}-4(3m+3)>0 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}+8m+16-12m-12>0 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m+4>0 \\ & \Leftrightarrow {{(m-2)}^{2}}>0 \\ & \Leftrightarrow m\ne 2. \\\end{align}\)

Áp dụng hệ thức Vi- et ta có \(\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m+4\,\,\,\,\,\,\,\,(1)  \\   {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=3m+3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)  \\\end{matrix} \right.\)

Xét \(|{{x}_{1}}+1|+|{{x}_{2}}+1|\,=7\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow {{\left( \left| {{x}_{1}}+1 \right|+\left| {{x}_{2}}+1 \right| \right)}^{2}}=49 \\ & \Leftrightarrow x_{1}^{2}+2{{x}_{1}}+1+x_{2}^{2}+2{{x}_{2}}+1+2|{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1|=49 \\ & \Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+2|{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1|-47=0\,\,\,(3) \\\end{align}\)

Thay (1) và (2) vào (3) ta có:

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,{{(m+4)}^{2}}-2(3m+3)+2(m+4)+2|3m+3+m+4+1|-47=0 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+2|4m+8|-29=0 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+8|m+2|-29=0\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(4) \\\end{align}\)

TH1. \(m\ge -2\), khi đó \((4)\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+8m+16-29=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+12m-13=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1\,\,\,(tm) \\ & m=-13\,\,(ktmdk) \\\end{align} \right.\)

TH2. \(m<-2\), khi đó \((4)\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m-8m-16-29=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-45=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-5\,\,\,(tm) \\ & m=9\,\,\,(ktmdk) \\\end{align} \right.\)

Vậy \(m=-5;m=1\).

Chọn D.