Cho \(P=\frac{2\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)}{{{a}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức đã cho thành một phương trình bậc hai đối với ẩn \(a\) và tham số \(P\).

Tìm điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai rồi tìm GTLN, GTNN

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có

\(P=\frac{2\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)}{{{a}^{2}}+1}\Leftrightarrow P\left( {{a}^{2}}+1 \right)=2\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)\Leftrightarrow \left( P-2 \right){{a}^{2}}-2a+P-2=0\,\,\,\left( 1 \right).\)

\(P\) thỏa mãn \(P=\frac{2\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)}{{{a}^{2}}+1}\) khi và chỉ khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.

Trường hợp 1. \(P=2\) khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-2a-2=0\Leftrightarrow a=-1.\)

Trường hợp 2. \(P\ne 2.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {1^2} - \left( {P - 2} \right)\left( {P - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - \left( {{P^2} - 4P + 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow - {P^2} + 4P - 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 4P + 3 \le 0 \Leftrightarrow \left( {P - 1} \right)\left( {P - 3} \right) \le 0.\end{array}\)

Chú ý rằng \(P-1>P-3,\,\,\forall P\) và tích hai số là số không dương khi và chỉ khi có một số không dương và một số không âm,  ta suy ra

\(\left( {P - 1} \right)\left( {P - 3} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P - 3 \le 0\\P - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P \le 3\\P \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le P \le 3.\)

Với \(P=1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 1-2 \right).{{a}^{2}}-2a+\left( 1-2 \right)=0\Leftrightarrow -{{a}^{2}}-2a-1=0\Leftrightarrow a=-1.\)

Với \(P=3.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 3-2 \right).{{a}^{2}}-2a+\left( 3-2 \right)=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a+1=0\Leftrightarrow a=1.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(3\) đạt được tại \(a=1,\) giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(1\) đạt được tại \(a=-1.\)

Chọn đáp án A.